Длина окруж­но­сти равна от­ку­да r  =  6. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра ра­ди­ус сферы равен Для пло­ща­ди сферы имеем:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов имеем: К тому же

AC пе­ре­се­ка­ет BD в точке O, точка M  — се­ре­ди­на BS, тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

Най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC. За­ме­тим, что

По тео­ре­ме си­ну­сов:

Про­длим BD до точки P, BP  =  

Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка BMP  — ис­ко­мый. Тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

По тео­ре­ме си­ну­сов имеем: Таким об­ра­зом,

Ответ: 26.

Ра­ди­ус опи­сан­ной во­круг рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти равен Пло­щадь сферы равна

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

По­сколь­ку шар впи­сан в приз­му, то окруж­ность боль­шо­го круга шара впи­сы­ва­ет­ся в ос­но­ва­ние приз­мы, т. е. в тре­уголь­ник. Ис­хо­дя из этого, пло­щадь ос­но­ва­ния приз­мы равна где P  — пе­ри­метр ос­но­ва­ния приз­мы, r  — ра­ди­ус шара. Кроме того, вы­со­та приз­мы равна диа­мет­ру шара, т. е.

Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти пря­мой тре­уголь­ной приз­мы равна (a, b, c  — сто­ро­ны ос­но­ва­ния приз­мы):

Ответ: 45.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке OFK най­дем ги­по­те­ну­зу Таким об­ра­зом, Пло­щадь сферы:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 5.

Пусть P и Q  — се­ре­ди­ны ребер BB₁ и CC₁, со­от­вет­ствен­но. Се­че­ни­ем сферы плос­ко­стью BPQ яв­ля­ет­ся окруж­ность, опи­сан­ная около этого тре­уголь­ни­ка, и, сле­до­ва­тель­но, пря­мо­уголь­ни­ка BPQC, сле­до­ва­тель­но, точка C также лежит на сфере. Ана­ло­гич­но, для плос­ко­сти BCD₁, точка A₁ также лежит на сфере.

Центр сферы яв­ля­ет­ся точ­кой рав­но­уда­лен­ной от точек B, P, Q, C, сле­до­ва­тель­но, лежит на пря­мой про­хо­дя­щей через R  — центр че­ты­рех­уголь­ни­ка BPQC пер­пен­ди­ку­ляр­но к плос­ко­сти BPQC. Ана­ло­гич­но, для точек B, A₁, D₁, C, центр лежит на пря­мой про­хо­дя­щей через O  — центр че­ты­рех­уголь­ни­ка BA₁D₁C (центр куба) пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти BA₁D₁C. Обе эти пря­мые лежат в се­ре­дин­ном се­че­нии куба KLMN, где K, L, M, N  — се­ре­ди­ны ребер BC, B₁C₁, A₁D₁, AD, со­от­вет­ствен­но. Точка их пе­ре­се­че­ния Z  — центр сферы. Не­труд­но про­ве­рить, что она рав­но­уда­ле­на от всех из­вест­ных точек, ле­жа­щих на сфере. Най­дем квад­рат ра­ди­у­са сферы

Тогда пло­щадь по­верх­но­сти сферы равна

Ответ: 336.

Изоб­ра­зим на ри­сун­ке плос­кость диа­го­наль­но­го се­че­ния приз­мы. Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке: ра­ди­ус сферы пе­ре­се­ка­ет диа­го­наль ниж­не­го ос­но­ва­ния AD в точке H, ка­са­ет­ся диа­го­на­ли BC в точке К.

Че­ты­рех­уголь­ник ABCD  — пря­мо­уголь­ник, от­ре­зок OK пер­пен­ди­ку­ля­рен сто­ро­нам AD и BC. По усло­вию Най­дем сто­ро­ны пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AHO: от­сю­да Пло­щадь диа­го­наль­но­го се­че­ния

По усло­вию пло­щадь диа­го­наль­но­го се­че­ния равна от­ку­да Таком об­ра­зом,

Ответ: 72.

Рас­сто­я­ние от цен­тра сферы до точки ка­са­ния равно ра­ди­у­су сферы. Длина ра­ди­у­са вдвое мень­ше длины диа­мет­ра, сле­до­ва­тель­но, равна 12.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Най­дем ра­ди­ус круга по тео­ре­ме си­ну­сов:

Ра­ди­ус боль­шо­го круга шара равен ра­ди­у­су шара. Най­дем объем шара:

Най­дем зна­че­ние вы­ра­же­ния

Ответ: 96.

Пусть O  — центр шара. Про­ве­дем OH  — пер­пен­ди­ку­ляр к плос­ко­сти тре­уголь­ни­ка ABC. Тре­уголь­ни­ки AOH, BOH, COH равны по ги­по­те­ну­зе и ка­те­ту, по­это­му от­рез­ки AH, CH, BH равны и яв­ля­ют­ся ра­ди­у­са­ми опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти с цен­тром в точке H. ПО тео­ре­ме о сумме углов в тре­уголь­ни­ке: По тео­ре­ме си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ABC:

Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке AHO:

Вы­чис­лим объем шара:

Най­дем зна­че­ние ис­ко­мо­го вы­ра­же­ния:

Ответ: 448.